（1）由平行四边形的性质知

∠D=∠B，AB=CD=a，可得∠D=∠DEC，由等角对等边知CD=CE，由AE=AB=a，AD=BC=2a，可得DE=CE，即可证得△CDE是等边三角形，∠D=60°，由两直线平行，同位角相等可得∠DAB=120°，即可求得α；

（2）由旋转的性质以及∠B=60°，可得△ABE是等边三角形，由平行线的判定以及两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证四边形ABEM是平行四边形，再由由一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；

（3）当点F到BC的距离最大时，△BCF的面积最大，由于点F始终在以A为圆心AF为半径的圆上运动，故当FG与⊙A相切时，点F到BC的距离最大，过点A作AH⊥BC于点H，连接AF，由题意知∠AFG=90°.由∠ABH=∠G=60°，AB=a，AG=2a，可得AH、AF的值.可求得点F到BC的最大距离.进而求得S△BCF的值.

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠D=∠B，AB=CD=a，

∵∠AEF=∠B，∠AEF=∠DEC，

∴∠D=∠DEC，

∴CD=CE，

∵AE=AB=a，AD=BC=2a，

∴DE=CE.，

∴CD=CE=DE，

 ∴△CDE是等边三角形，

∴∠D=60°，

∵CD∥AB，

∴∠D+∠DAB=180°，

∴∠DAB=120°，

 ∴α=120°.；

（2）四边形CDFM是菱形.

证明：由旋转可得AB=AE，

∵∠B=60°，

∴△ABE是等边三角形，

 ∴∠BAE=60°，

∴∠BAG=∠BAE+∠GAE=60°+120°=180°，

∴点G，A，B在同一条直线上，

∴ME ∥AB，BE∥AM，

∴四边形ABEM是平行四边形，

∴AM=AB=ME，

∴CD=DM=MF，

∵CD ∥AB∥MF，

∴四边形CDFM是平行四边形，

∵∠D= 60°，CD=DM，

 ∴△CDM是等边三角形，

∴CD=DM，

∴四边形CDFM是菱形；

（3）存在△BCF的面积最大的情形.

∵CB的长度不变，

∴当点F到BC的距离最大时，△BCF的面积最大.

∵点F始终在以A为圆心AF为半径的圆上运动，

∴当FG与⊙A相切时，点F到BC的距离最大，

如图，过点A作AH⊥BC于点H，连接AF，

则∠AFG=90°.

∵∠ABH=∠G=60°，AB=a，AG=2a， 

∴AH=AB×sin60°=a，AF=AG×sin60°= a.

∴点F到BC的最大距离为a+ a=a.

∴S△BCF=×2a×a=a2.