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题型:解答题 难度:较易

【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”) 和直角三角形全等的判定方法(即“HL”) 后, 我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.

【初步思考】

不妨将问题用符号语言表示为: 在△ABC和△DEF中, AC = DF, BC = EF, ∠B =∠E,

然后, 对∠B进行分类, 可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.

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【深入探究】

第一种情况: 当∠B是直角时, △ABC≌△DEF.

(1) 如图①, 在△ABC和△DEF, AC = DF, BC = EF, ∠B =∠E = 90°, 根据_____________, 可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.

第二种情况: 当∠B是钝角时, △ABC≌△DEF.

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(2) 如图②, 在△ABC和△DEF, AC = DF, BC = EF, ∠B =∠E, 且∠B、∠E都是钝角.

求证: △ABC≌△DEF.

第三种情况: 当∠B是锐角时, △ABC和△DEF不一定全等.

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(3) 在△ABC和△DEF, AC = DF, BC = EF, ∠B = ∠E, 且∠B、∠E都是锐角, 请你用尺规在图③中作出△DEF, 使△DEF和△ABC不全等. (不写作法, 保留作图痕迹)

(4) ∠B还要满足什么条件, 就可以使△ABC≌△DEF ? 请直接写出结论: 在△ABC和△DEF中, AC = DF, BC = EF, ∠B =∠E, 且∠B、∠E都是锐角, 若__________, 则△ABC≌△DEF.

【考点】
【答案】

(1) HL(2)证明见解析(3) △DEF和△ABC不全等(4) 若∠B ≥∠A, 则△ABC≌△DEF

【解析】

(1)根据直角三角形全等的方法“HL”证明;

(2)过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G,过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H,根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH,再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等,根据全等三角形对应边相等可得CG=FH,再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等,根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D,然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等;

(3)以点C为圆心,以AC长为半径画弧,与AB相交于点D,E与B重合,F与C重合,得到△DEF与△ABC不全等;

(4)根据三种情况结论,∠B不小于∠A即可.

试题解析:(1)解:HL;

(2)证明:如图,过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G,过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H,

∵∠B=∠E,且∠B、∠E都是钝角,

∴180°-∠B=180°-∠E,

即∠CBG=∠FEH,

在△CBG和△FEH中,

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∴△CBG≌△FEH(AAS),

∴CG=FH,

在Rt△ACG和Rt△DFH中,

AC=DF,CG=FH

∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL),

∴∠A=∠D,

在△ABC和△DEF中,

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∴△ABC≌△DEF(AAS);

(3)解:如图,△DEF和△ABC不全等;

(4)解:若∠B≥∠A,则△ABC≌△DEF.

题型:解答题 难度:较易
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