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题型:解答题 难度:一般

如图,在平面直角坐标系xOy中,直线1与y轴交于点C,与x轴交于点B,抛物线2经过B、C两点,与x轴的正半轴交于另一点A,且OA :OC="2" :7.

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(1)求抛物线的解析式;

(2)点D为线段CB上,点P在对称轴的右侧抛物线上,PD=PB,当tan∠PDB=2,求P点的坐标;

(3)在(2)的条件下,点Q(7,m)在第四象限内,点R在对称轴的右侧抛物线上,若以点P、D、Q、R为顶点的四边形为平行四边形,求点Q、R的坐标.

【答案】

(1)y=-1x2+2x-7 ;(2)P(8,-3);

(3)R(10,-12),Q(7,-11)或R(6,2),Q(7,-7)

【解析】

(1)有直线解析式可以求出C点的坐标,再利用OA :OC="2" :7.求出A的坐标.最后把A、C代入抛物线解析式求出即可.

(2)先求出B的坐标可得∠OCB=∠OBC=45°,又过P作PE⊥BC于点E,所以∠CFG=∠OCB==45°就得到线段EF、BF、EP的数量关系;又tan∠PDB=2可以得到线段EP、DE、PD的数量关系,然后设出P、F的坐标利用他们的纵坐标相等即可求出点的坐标;

(3)若以点P、D、Q、R为顶点的四边形为平行四边形有两种情况:线段PD有可能是边也有可能是对角线.

当PD是边时,即DP∥QR时,∵B(7,0),Q(7,n)∴BQ∥y轴

过P作PN∥BQ,过D作DN⊥BQ交PN于点N,过R作RM⊥BQ于点M. 设PD交BQ于点T,DN交BM于点I

即可证明△RMQ≌△DNP,再求出D点的坐标,设R点的横坐标为t,∵RM=DN,∴t-7=8-5解得t=10,再把t=10带入抛物线即可求出R、Q;当PD是对角线时,同理求出.

(1)∵直线y=kx-7与y轴的负半轴交于点C   ∴C(0,-7) ∴OC=7

∵抛物线y=ax2+bx+14a经过点C,∴14a=-7,∴a =-1∴y=-1x2+bx-7

∵OA :OC="2" :7.∴OA=2,∴A(2,0)∵抛物线y=-1x2+bx-7经过点A

∴b=2∴抛物线的解析式为y=-1x2+2x-7

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(2)如图1,∵抛物线y=-1x2+2x-7经过B点, 令y=0解得x=7或x=2(舍)∴B(7,0)

∴OB=7∴OC=OB∴∠OCB=∠OBC=45°

过点P作PF⊥x轴于点G,交CB延长线于点F,

则PF∥y轴,∴∠CFG=∠OCB==45°

∴BF=4GF

过P作PE⊥BC于点E,

∵PD=PB

∴∠PBD=∠PDB

∴tan∠PBD=tan∠PDB=2  

∴PE=2BE

∵EF=PE ∴BF=BE

∴PF=4PE=24BE=24BF=4GF,

∴PG="3GF"  

∵直线y=kx-7过B点 ∴k=1   ∴y=x-7

设F(5),则P(6

因为点P在抛物线y=-1x2+2x-7上,

所以,7

解得m=7(舍)或m=8

∴P(8,-3)

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如图2,当DP∥QR时,即四边形DQRP是平行四边形 ∵B(7,0),Q(7,n)∴BQ∥y轴

过P作PN∥BQ,过D作DN⊥BQ交PN于点N,

过R作RM⊥BQ于点M.

设PD交BQ于点T,DN交BM于点I

∴∠DTB=∠DPN,∠PTQ=∠RQM, ∵∠DTB=∠PTQ

∴∠DPN=∠RQM

∵四边形DPRQ是平行四边形

∴DP=RQ

∵∠RMQ=∠DNP,∴△RMQ≌△DNP

∴RM=DN,MQ=PN

由(2)可求F(8,1),GF=1,BD=2BE=9BF=9

∵∠QBC=45°,∴BI=DI=2 ∴D(5,-2)

设R点的横坐标为t,∵RM=DN,∴t-7=8-5

解得t=10

∵点R在抛物线y=-1x2+2x-7 上,

∴当t=10时,10

∴R(10,-12)

∵MQ=PN

∴3-2=-12-n,∴n=-11

∴R(10,-12),Q(7,-11)  

如图3,当DR∥QP时,即四边形DQPR是平行四边形

同理可求得R(6,2),Q(7,-7)

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题型:解答题 难度:一般
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