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题型:解答题 难度:较难

二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B,与y轴交于点C,且A(﹣1,0)、B(4,0).

(1)求此二次函数的表达式;

(2)如图1,抛物线的对称轴m与x轴交于点E,CD⊥m,垂足为D,点F(﹣1,0),动点N在线段DE上运动,连接CF、CN、FN,若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似,求点N的坐标;

(3)如图2,点M在抛物线上,且点M的横坐标是1,将射线MA绕点M逆时针旋转45°,交抛物线于点P,求点P的坐标.

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【答案】

(1)抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4;(2)点N的坐标为(12)或(3,2);(3)P的坐标为(4,0)

【解析】

分析:(1)先求得点C的坐标,设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−4),将点C的坐标代入求得a的值,从而得到抛物线的解析式;

(2)先求得抛物线的对称轴,然后求得CD,EF的长,设点N的坐标为(0,a)则ND=4−a,NE=a,然后依据相似三角形的性质列出关于a的方程,然后可求得a的值;

(3)过点A作AD∥y轴,过点M作DM∥x轴,交点为D,过点A作AE⊥AM,取AE=AM,作EF⊥x轴,垂足为F,连结EM交抛物线与点P.则△AME为等腰直角三角形,然后再求得点M的坐标,从而可得到MD=2,AD=6,然后证明∴△ADM≌△AFE,于是可得到点E的坐标,然后求得EM的解析式为y=−2x+8,最后求得直线EM与抛物线的交点坐标即可.

详解:

(1)当x=0时,y=4,∴C(0,4).

设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣4),将点C的坐标代入得:﹣4a=4,解得a=﹣1,

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4.

(2)x=1=2.∴CD=3,EF=4

设点N的坐标为(5,a)则ND=4﹣a,NE=a.

当△CDN∽△FEN时,6,即7,解得a=8

 ∴点N的坐标为(910).

当△CDN∽△NEF时,11,即12,解得:a=2.

∴点N的坐标为(13,2).

综上所述,点N的坐标为(1415)或(16,2).

(3)如图所示:过点A作AD∥y轴,过点M作DM∥x轴,交点为D,过点A作AE⊥AM,取AE=AM,作EF⊥x轴,垂足为F,连结EM交抛物线与点P.

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∵AM=AE,∠MAE=90°, ∴∠AMP=45°.

将x=1代入抛物线的解析式得:y=6, ∴点M的坐标为(1,6). ∴MD=2,AD=6.

∵∠DAM+∠MAF=90°,∠MAF+∠FAE=90°, ∴∠DAM=∠FAE.

在△ADM和△AFE中,18

∴△ADM≌△AFE.

∴EF=DM=2,AF=AD=6.

∴E(5,﹣2).

设EM的解析式为y=kx+b.

将点M和点E的坐标代入得:19

解得k=﹣2,b=8,

∴直线EM的解析式为y=﹣2x+8.

将y=﹣2x+8与y=﹣x2+3x+4联立,解得:x=1或x=4.

将x=4代入y=﹣2x+8得:y=0.∴点P的坐标为(4,0).

点睛: 本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式,相似三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质,通过作辅助线构造等腰直角三角形、全等三角形求得点E的坐标是解题的关键.

题型:解答题 难度:较难
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