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题型:解答题 难度:一般

在平面直角坐标系中,将某点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”,如(-3,5)与(5,-3)是一对“互换点”.

(1)以O为圆心,半径为5的圆上有无数对“互换点”,请写出一对符合条件的“互换点”;

(2)点M,N是一对“互换点”,点M的坐标为(m,n),且(m>n),⊙P经过点M,N.

①点M的坐标为(4,0),求圆心P所在直线的表达式;

②⊙P的半径为5,求m-n的取值范围.

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【答案】

(1)答案不唯一,如:(4,3),(3,4);(2)①y=x;②0<m-n≤1

【解析】

根据“互换点”的定义,结合图形写出符合题意的点即可;(2)①因点M的坐标为(4,0),根据“互换点”的定义,点N的坐标为(0,4),由圆的对称性可知圆心P在直线OA上,从而可求圆心P所在直线的表达式;②由MN为⊙P直径时,求出m-n的最大值,由点M,N重合时,求出m-n的最小值.

解:(1)答案不唯一,如:(4,3),(3,4);

(2)①连结MN,∵OM=ON=4,∴Rt△OMN是等腰直角三角形.

过O作OA⊥MN于点A,∴点M,N关于直线OA对称.

由圆的对称性可知,圆心P在直线OA上,∴圆心P所在直线的表达式为y=x.

②当MN为⊙P直径时,由等腰直角三角形性质,可知m-n=1

当点M,N重合时,即点M,N横纵坐标相等,所以m-n=0;

∴m-n的取值范围是0<m-n≤2

题型:解答题 难度:一般
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